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• Em uma linguagem funcional, uma função é um valor como qualquer outro • Isso quer dizer que funções podem ser passadas como parâmetros para outras funções e retornadas de outras funções • Passagem e retorno de funções nos dá uma ferramenta poderosa para • Funções que recebem ou retornam outras funções são chamadas de funções • Seja uma função que calcula a soma dos inteiros entre a e b: • def somaInt(a: Int, b: Int): Int = if (a > b) 0 else a + • Seja agora uma função que calcula a soma dos quadrados dos inteiros entre a • def somaQuad(a: Int, b: Int): Int = if (a > b) 0 else • Seja agora uma função que soma os fatoriais dos inteiros entre a e b: • def somaFat(a: Int, b: Int): Int = if (a > b) 0 else • Todas essas funções são muito parecidas! Elas são casos especiais de: • def soma(f: Int => Int, a: Int, b: Int): Int = if (a > b) 0 • def somaInt(a: Int, b: Int) = soma(id, a, b) • def somaQuad(a: Int, b: Int) = soma(quadrado, a, b) • def somaFat(a: Int, b: Int) = soma(fat, a, b) • Um tipo A => B é o tipo de uma função que recebe um argumento do tipo A e retorna um resultado de tipo B, logo Int => Int é uma função que recebe um inteiro e retorna um inteiro • Passar funções como parâmetros leva à criação de muitas funções pequenas • Às vezes queremos denotar uma função sem precisar dar um nome para ela • Do mesmo jeito que usamos literais como 2, 3, “foo” e expressões como • Scala fornece uma sintaxe de funções anônimas para isso • Exemplo: uma função que eleva seu argumento ao quadrado: • O termo (x: Int) dá a lista de parâmetros da função anônima, e x * x é o • Em algumas ocasiões o tipo do parâmetro pode ser omitido! • Funções anônimas com vários parâmetros são possíveis: • Podemos definir as funções de somatório usando soma e funções anônimas: • def somaInt(a: Int, b: Int) = soma(x => x, a, b) • def somaQuad(a: Int, b: Int) = soma(x => x * x, a, b) • def somaFat(a: Int, b: Int) = soma(fat, a, b) • Repare que não precisamos dizer o tipo do parâmetro x das funções anônimas, pois o compilador sabe que soma precisa de uma função Int => Int • Se não precisamos dizer o tipo, e a função anônima tem apenas um parâmetro, então podemos omitir os parênteses também • Escreva uma função produto que calcula o produto dos valores de uma função de inteiros para inteiros em determinado intervalo • Escreva a função que calcula o fatorial em termos de produto • É possível generalizar tanto soma quanto produto? • Relembrem as funções de somatório: • def somaInt(a: Int, b: Int) = soma(x => x, a, b) • def somaQuad(a: Int, b: Int) = soma(x => x * x, a, b) • def somaFat(a: Int, b: Int) = soma(fat, a, b) • Reparem que os parâmetros a e b são passados sem mudanças para a função • Podemos nos livrar deles fazendo soma retornar uma função! def soma(f: Int => Int): (Int, Int) => Int = { • Ela agora é uma função que retorna outra função: repare no seu tipo de • Agora podemos redefinir os somatórios como: • def somaInt(a: Int, b: Int) = soma(x => x) • def somaQuad(a: Int, b: Int) = soma(x => x * x) • def somaFat(a: Int, b: Int) = soma(fat) • Podemos até usar soma diretamente: soma(quadrado)(1, 10) • Funções retornando funções são tão comuns em programação funcional que def soma(f: Int => Int)(a: Int, b: Int): Int = if (a > b) 0 else f(a) + soma(f)(a + 1, b) • Esse estilo de uso de funções é chamado de currying, é a maneira normal de definir funções com múltiplos argumentos em algumas linguagens funcionais • Existem linguagens funcionais em que todas as funções recebem apenas um • O tipo de soma é (Int => Int) => (Int, Int) => Int • Em matemática, x é um ponto fixo da função f se f(x) = x • Para algumas funções, uma maneira de achar um ponto fixo é começando com uma estimativa e repetidamente aplicando f: • x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), f(f(f(f(x)))), .
• Até que a variação entre um valor e o próximo seja pequena o suficiente • A definição do slide anterior nos dá uma receita para escrever uma função Scala que acha um ponto fixo de outra função: def pontoFixo(f: Double => Double)(est: Double): Double = { def suficiente(est1: Double, est2: Double) = • Vamos pensar na especificação da função raiz: • raiz(x) = um número y tal que y * y = x • Dividindo ambos os lados da equação y * y = x por y: • raiz(x) = um número y tal que y = x / y • Ou seja uma raiz quadrada de x é um ponto fixo para a função f(y) = x / y! • def raiz(x: Double) = pontoFixo(y => x / y)(1.0) • def raiz(x: Double) = pontoFixo(y => x / y)(1.0) • Vamos debugar com println e ver o que está acontecendo • A raiz(x) é um número y tal que y = x / y • Se adicionarmos y a ambos os lados da equação e simplificarmos temos: • raiz(x) = um número y tal que y = (y + x / y)/2 • O que acontece se tentamos achar o ponto fixo dessa segunda função em y? • Uma terceira maneira de achar uma raiz quadrada de um número x é achando uma solução da equação y2 - x = 0 • Um método numérico de achar raízes de funções é o método de Newton, que consiste em, para uma equação dada por g(x) = 0, achar o ponto fixo da função: • f(x) = x - g(x)/g’(x), onde g’(x) é a primeira derivada de g(x) • Já temos quase todas as ferramentas, só precisamos da derivada! Mas isso é • g’(x) = (g(x + dx) - g(x)) / dx, para um dx pequeno o bastante

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